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《概率论与数理统计 经管类》第四版

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文档介绍
课后答案网(http://****.khdaw****)2 习题 1.1 解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件 A, B, C 分别表示“第一次出现正面”,“两 次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 A, B,C 中的样本 点。 解: Ω = { (正,正),(正,反),(反,正),(反,反) } A = { (正,正),(正,反) }; B = { (正,正),(反,反) } C = { (正,正),(正,反),(反,正) } 2. 在掷两颗骰子的试验中,事件 A, B,C, D 分别表示“点数之和为偶数”,“点数 之和小于 5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写出样本空间及事 件 AB, A + B, AC , BC , A − B − C − D 中的样本点。 解: Ω = {(1,1), (1,2),⋯, (1,6), (2,1), (2,2),⋯, (2,6),⋯, (6,1), (6,2),⋯, (6,6)}; AB = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1)}; A + B = {(1,1),(1,3),(1,5),⋯, (6,2), (6,4), (6,6),(1,2),(2,1)}; AC = Φ ; BC = {(1,1),(2,2)}; A − B − C − D = {(1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4)} 3. 以 A, B, C 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 A,B,C表示以下 事件: (1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。 解:(1) AB C ; (2) ABC ; (3) ABC + ABC + ABC ; (4) ABC + ABC + ABC ; (5) A + B + C ; (6) ABC ; (7) ABC + ABC + ABC + ABC 或 AB + AC + BC (8) ABC ; (9) A + B + C 4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件 A1 , A2 , A3 分别表示甲、乙、丙射中。试说 明下列事件所表示的结果: A2 , A2 + A3 , A1 A2 , A1 + A2 , A1 A2 A3 , A1 A2 + A2 A3 + A1 A3 . 解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一 人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人 击中。 5. 设事件 A, B, C 满足 ABC ≠ Φ ,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和: A + B + C , AB + C , B − AC . 解:如图: 课后答案网(http://****.khdaw****)3 A C AB C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC B Ω A + B + C = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC; AB + C = ABC + C; B − AC = ABC + ABC + ABC = BA + ABC = BC + ABC 6. 若事件 A, B, C 满足 A + C = B + C ,试问 A = B 是否成立?举例说明。 解:不一定成立。例如: A = {3,4,5}, B = {3}, C = {4,5}, 那么, A + C = B + C ,但 A ≠ B 。 7. 对于事件 A, B, C ,试问 A − (B − C) = (A − B) + C 是否成立?举例说明。 解:不一定成立。 例如: A = {3,4,5}, B = {4,5,6}, C = {6,7}, 那么 A − ( B − C) = {3},但是 ( A − B ) + C = {3,6,7}。 8. 设 P(A) = 1 , P(B) = 1 ,试就以下三种情况分别求 P(BA ) : 3 2 (1) AB = Φ , (2) A ⊂ B , (3) P(AB) = 1 . 8 解: (1) P(BA) = P(B − AB) = P(B) − P(AB) = 1 ; 2 (2) P(BA ) = P(B − A) = P( B) − P( A) = 1 ; 6 (3) P(BA) = P(B − AB) = P(B) − P(AB) = 1 − 1 = 3 。 28 8 9. 已知 P(A) = P(B) = P(C) = 1 , P( AC) = P(BC) = 1 , P(AB) = 0求事件 4 16 A, B, C 全不发生的概率。 课后答案网(http://****.khdaw****)4 ( ) 解: P(ABC ) = P A + B + C = 1− P( A + B + C) =1 − [P( A) + P( B ) + P(C) − P( AB) − P( AC) − P(BC ) + P( ABC )] = 1 − ⎡ 1 + 1 + 1 − 0 − 1 − 1 + 0⎥⎦⎤ = 3 ⎢⎣ 4 4 4 16 16 8 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯,假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车 经过三个路口,试求下列事件的概率: A = “三个都是红灯”=“全红”; B = “全 绿”; C = “全黄”; D = “无红”; E = “无绿”; F = “三次颜色相同”; G = “颜色全不相同”; H = “颜色不全相同”。 解: P(A) = P(B) = P(C) = 1×1×1 = 1 ; P(D) = P(E) = 2× 2 × 2 = 8 ; 3×3× 3 27 3×3× 3 27 P(F) = 1 + 1 + 1 = 1 ; P(G) = 3! = 2 ; 27 27 27 9 3× 3×3 9 P(H) = 1− P(F) = 1− 1 = 8 . 99 11. 设一批产品共 100 件,其中 98 件正品,2 件次品,从中任意抽取 3 件(分三 种情况:一次拿 3 件;每次拿 1 件,取后放回拿 3 次;每次拿 1 件,取后不放回拿 3 次),试求: (1) 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率; (2) 取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。 解: 一次拿 3 件: (1) P = C 928 C 12 = 0.0588; (2) P = C12C928 + C22C918 = 0.0594; C3 C3 100 100 每次拿一件,取后放回,拿 3 次: (1) P = 2× 982 × 3 = 0.0576; (2) P = 1 − 983 = 0.0588; 1003 1003 每次拿一件,取后不放回,拿 3 次: (1) P = 2 × 98× 97 × 3 = 0.0588; 100× 99×98 (2) P = 1− 98× 97×96 = 0.0594 100× 99×98 12. 从 0,1,2,⋯,9 中任意选出 3 个不同的数字,试求下列事件的概率: A1 = {三个数字中不含0与5}, A2 = {三个数字中不含0或5}。 课后答案网(http://****.khdaw****)5 解: P( A1 ) = C83 = 7; C130 15 P(A2 ) = 2C93 − C83 = 14 或 P( A2 ) = 1 − C81 = 14 C130 15 C130 15 13. 从 0,1,2,⋯ ,9 中任意选出 4 个不同的数字,计算它们能组成一个 4 位偶数的概 率。 解: P = 5P93 − 4P82 = 41 P140 90 14. 一个宿舍中住有 6 位同学,计算下列事件的概率: (1)6 人中至少有 1 人生日在 10 月份; (2)6 人中恰有 4 人生日在 10 月份; (3)6 人中恰有 4 人生日在同一月份; 解: (1) P = 1 − 116 =̇ 0.41; (2) P = C**** ×112 =̇ 0.00061; 126 126 (3) P = C112 C **** 112 =̇ 0.0073 126 15. 从一副扑克牌(52 张)任取 3 张(不重复),计算取出的 3 张牌中至少有 2 张花色相同的概率。 解: P = C41C133 + C 1 C123C139 =̇ 0.602或 P = 1 − C43 C113C113C113 =̇ 0.602 4 C532 C532 课后答案网(http://****.khdaw****)6 习题 1.2 解答 1. 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%,30%、10%,从中任取一件,结果 不是三等品,求取到的是一等品的概率。 解: 令 Ai = “取到的是 i 等品”, i = 1,2,3 P( A1 A3 ) = P(A1 A3 ) = P( A1 ) = 0.6 = 2 。 P(A3 ) P( A3 ) 0.9 3 2. 设 10 件产品中有 4 件不合格品,从中任取 2 件,已知所取 2 件产品中有 1 件不 合格品,求另一件也是不合格品的概率。 解: 令 A = “两件中至少有一件不合格”, B = “两件都不合格” C42 C120 P(B | A) = P( AB) = P(B) = C62 =1 P( A) 1− P(A) 5 1 − C120 3. 为了防止意外,在矿内同时装有两种****系统 I 和 II。两种****系统单独使用 时,系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93,在系统 I 失灵的条件下,系统 II 仍有效 的概率为 0.85,求 (1) 两种****系统 I 和 II 都有效的概率; (2) 系统 II 失灵而系统 I 有效的概率; (3) 在系统 II 失灵的条件下,系统 I 仍有效的概率。 解:令 A = “系统(Ⅰ)有效” , B = “系统(Ⅱ)有效” 则 P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B | A) = 0.85 (1) P(AB) = P(B − AB) = P(B) − P(AB) = P(B) − P(A)P(B | A) = 0.93 − (1− 0.92) ×0.85 = 0.862 (2) P(BA) = P( A − AB) = P(A) − P(AB) = 0.92− 0.862 = 0.058 (3) P(A | B) = P(AB) = 0.058 =̇ 0.8286 P(B) 1− 0.93 4. 设 0 < P( A) < 1,证明事件 A 与 B ****的充要条件是 P(B | A) = P(B | A) 证: ⇒ :∵ A 与 B ****,∴ A 与 B 也****。 ∴ P(B | A) = P(B), P(B | A) = P(B) ∴ P(B | A) = P(B | A) ⇐: ∵0 < P( A) < 1 ∴0 < P(A) < 1 又∵ P(B | A) = P( AB) , P(B | A) = P( AB) P( A) P(A) 课后答案网(http://****.khdaw****)7 而由题设 P(B | A) = P(B | A)∴ P(AB) = P(AB) P(A) P(A) 即[1 − P(A)]P( AB) = P(A)[P(B) − P( AB)] ∴ P(AB) = P( A)P(B) ,故 A与 B ****。 5. 设事件 A 与 B 相互****,两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都 是 1 ,求 P(A) 和 P(B). 4 解:∵ P(AB) = P(AB) = 1 ,又∵ A与 B **** 4 ∴ P(AB) = P(A)P(B) = [1− P(A)]P(B) = 1 4 P(AB) = P(A)P(B) = P( A)[1− P(B)] = 1 4 ∴ P(A) = P(B), P( A) − P2 (A) = 1 4 即 P(A) = P(B) = 1 。 2 6. 证明 若 P(A) >0, P(B) >0,则有 (1) 当 A 与 B ****时, A 与 B 相容; (2) 当 A 与 B 不相容时, A 与 B 不****。 证明: P(A) > 0, P(B) > 0 (1)因为 A 与 B ****,所以 P(AB) = P(A)P(B) > 0, A 与 B 相容。 (2)因为 P(AB) = 0,而 P(A)P(B) > 0 , ∴ P(AB) ≠ P( A)P(B), A与 B 不****。 7. 已知事件 A, B, C 相互****,求证 A ∪ B 与 C 也****。 证明:因为 A、 B 、 C 相互****, ∴ P[(A ∪ B) ∩ C] = P( AC ∪ BC) = P( AC) + P(BC) − P(ABC) = P( A)P(C) + P(B)P(C) − P(A)P(B)P(C) = [P(A) + P(B) − P(AB)]P(C) = P(A ∪ B)P(C) ∴ A∪ B 与 C ****。 8. 甲、乙、丙三机床****工作,在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别 为 0.7,0.8 和 0.9,求在这段时间内,最多只有一台机床需要工人照顾的概率。 解: 令 A1, A2 , A3 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾, 那么 P(A1) = 0.7, P(A2 ) = 0.8, P(A3 ) = 0.9 令 B 表示最多有一台机床需要工人照顾, 那么 P(B ) = P( A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ) 课后答案网(http://****.khdaw****)8 = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P(A1 A2 A3 ) + P(A1 A2 A3 ) = 0.7 × 0.8× 0.9 + 0.3× 0.8× 0.9 + 0.7 × 0.2 ×0.8 + 0.7 ×0.8× 0.1 = 0.902 9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 p(0 < p < 1) ,(称为元件的可 靠性),假设各元件能否正常工作是相互****的,计算下面各系统的可靠性。 1 2 n 系统 I n+1 n+2 2n 1 2 n 系统 II n+1 n+2 2n 解:令 A = “系统(Ⅰ)正常工作” B = “系统(Ⅱ)正常工作” Ai = “第 i 个元件正常工作”, i = 1,2,⋯,2n P(Ai ) = P, A1, A2 ,⋯, A2n 相互****。 那么 [ ] P(A) = P ( A1 A2 ⋯ An ) + (An+1 An+2 ⋯ A2n ) [ ] ] [ = P (A1 A2 ⋯ An ) + P (An+1 An+2 ⋯ A2n ) − P(A1A2 ⋯ A2n ) n 2n 2n = ∏ P(Ai ) + ∏ P(Ai ) − ∏ P( Ai ) i=1 i= n +1 i=1 = 2Pn − P2n = Pn (2 − Pn ) P(B) = P[( A1 + An+1)(A2 + An+2 ) × ⋯× (An + A2n )] n ∏ = P(Ai + An+i ) i=1 n ∏ = [ P(Ai ) + P(An+i ) − P(Ai )P( An+i )] i=1 注:利用第 7 题的方法可以证 n 明 ( Ai + An+i ) 与 ( Aj + An+ j ) ∏ = [2P − P2 ] = Pn (2 − P)n i=1 i ≠ j 时****。 10. 10 张奖券中含有 4 张中奖的奖券,每人购买 1 张,求 (1) 前三人中恰有一人中奖的概率; (2) 第二人中奖的概率。 解:令 Ai = “第 i 个人中奖”, i = 1,2,3 (1) P( A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 ) 课后答案网(http://****.khdaw****)9 = P( A1 A2 A3) + P( A1 A2 A3) + P( A1 A2 A3 ) = P( A1 )P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2 ) + P( A1) P( A2 | A1 )P( A3 | A1A2 ) + P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2 ) = 4 ×6×5 + 6 ×5×4 + 6 ×4×5 = 1 10 9 8 10 9 8 10 9 8 2 或 P = C41C62 = 1 C130 2 (2) P(A2 ) = P( A1 )P(A2 | A1 ) + P( A1 )P(A2 | A1) = 4 ×3+ 6 ×4= 2 10 9 10 9 5 11. 在肝癌诊断中,有一种甲胎蛋白法,用这种方法能够检查出 95%的真实患者, 但也有可能将 10%的人误诊。根据以往的记录,每 10 000 人中有 4 人患有肝癌,试求: (1)某人经此检验法诊断患有肝癌的概率; (2)已知某人经此检验法检验患有肝癌,而他确实是肝癌患者的概率。 解: 令 B = “被检验者患有肝癌”, A = “用该检验法诊断被检验者患有肝癌” 那么, P(A | B) = 0.95, P( A | B) = 0.10, P(B) = 0.0004 (1) P(A) = P(B)P(A | B) + P(B)P( A | B) = 0.0004× 0.95 + 0.9996× 0.1 = 0.10034 (2) P(B | A) = P(B)P( A | B) P(B)P(A | B) + P(B)P(A | B ) = 0.0004× 0.95 =̇ 0.0038 0.0004× 0.95 + 0.9996× 0.1 12. 一大批产品的优质品率为 30%,每次任取 1 件,连续抽取 5 次,计算下列事件 的概率: (1)取到的 5 件产品中恰有 2 件是优质品; (2) 在取到的 5 件产品中已发现有 1 件是优质品,这 5 件中恰有 2 件是优质品。 解:令 Bi = “5 件中有 i 件优质品”, i = 0,1,2,3,4,5 (1) P(B 2 ) = C 2 (0.3) 2 (0.7)3 =̇ 0.3087 5 ∪ (2) P(B2| 5 Bi ) = P(B2 | B0 ) = P(B2 B0 ) i=1 P(B0 ) = P(B2 ) 0.3087 =̇ 0.371 1− P(B0 ) = 1− (0.7)5 课后答案网(http://****.khdaw****)10 13. 每箱产品有 10 件,其次品数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时,从中任取 1 件,如果检验是次品,则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误,1 件正品被 误检是次品的概率是 2%,1 件次品被误判是正品的概率是 5%,试计算: (1)抽取的 1 件产品为正品的概率; (2)该箱产品通过验收的概率。 解:令 A = “抽取一件产品为正品” Ai = “箱中有 i 件次品”, i = 0,1,2 B 2= “该箱产品通过验收2 1” 10 − i = P( Ai )P(A | Ai ) = i=0 3 × 10 ∑ ∑ (1) P( A) i= 0 = 0.9 (2) P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A) = 0.9 × 0.98 + 0.1× 0.05 = 0.887 14. 假设一厂家生产的仪器,以概率 0.70 可以直接出厂,以概率 0.30 需进一步调 试,经调试后以概率 0.80 可以出厂,并以概率 0.20 定为不合格品不能出厂。现该厂新 生产了 n(n ≥ 2) 台仪器(假设各台仪器的生产过程相互****),求: (1)全部能出厂的概率; (2)其中恰有 2 件不能出厂的概率; (3)其中至少有 2 件不能出厂的概率。 解:令 A = “仪器需进一步调试” ; B = “仪器能出厂” A = “仪器能直接出厂” ; AB = “仪器经调试后能出厂” 显然 B = A + AB , 那么 P(A) = 0.3, P(B | A) = 0.8 P(AB) = PA)P(B | A) = 0.3× 0.8 = 0.24 所以 P(B) = P( A) + P(AB) = 0.7 + 0.24 = 0.94 令 Bi = “ n 件中恰有 i 件仪器能出厂”, i = 0,1,⋯, n (1) P(B n ) = (0.94) n (2) P(Bn−n2−2 ) = C n− 2 (0.94) n− 2 (0.06) 2 = C 2 (0.94) n−2 (0.06) 2 n n ∑ (3) P( Bk ) = 1− P(Bn−1) − P(Bn ) = 1− Cn1 0.06(0.94)n−1 − (0.94)n 15. 进行一k =系0 列****试验,每次试验成功的概率均为 p ,试求以下事件 的概率: (1)直到第 r 次才成功; (2)第 r 次成功之前恰失败 k 次; (3)在 n 次中取得 r(1 ≤ r ≤ n) 次成功; 课后答案网(http://****.khdaw****)11 (4)直到第 n 次才取得 r(1 ≤ r ≤ n) 次成功。 解: (1) P = p(1− p)r−1 (2) P = C r−1 pr (1 − p)k r +k −1 (3) P = C r p r (1 − p) n−r n (4) P = C r−1 p r (1 − p) n−r n−1 16. 对飞机进行 3 次****射击,第一次射击命中率为 0.4,第二次为 0.5,第三次为 0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为 0.2,击中飞机二次而飞机被击落的概率为 0.6,若被击中三次,则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。 解:令 Ai = “恰有i 次击中飞机”, i = 0,1,2,3 B = “飞机被击落” 显然: P(A0 ) = (1− 0.4)(1− 0.5)(1− 0.7) = 0.09 P(A1) = 0.4× (1− 0.5) × (1− 0.7) + (1− 0.4) × 0.5× (1− 0.7) + (1− 0.4) × (1− 0.5) × 0.7 = 0.36 P( A2 ) = 0.4 × 0.5× (1− 0.7) + 0.4 × (1 − 0.5) × 0.7 + (1− 0.4) × 0.5 × 0.7 = 0.41 P( A3 ) = 0.4 × 0.5 × 0.7 = 0.14 而 P(B | A0 ) = 0, P(B | A1) = 0.2 , P(B | A2 ) = 0.6, P(B | A3) = 1 所以 3 P(B) = ∑ P( Ai )P(B | Ai ) = 0.458; P(B) = 1− P(B) =1 − 0.458 = 0.542 i= 0 课后答案网(http://****.khdaw****)12 习题 1.3 解答 1. 设 X 为随机变量,且 P(X = k) = 1 (k = 1,2,⋯), 则 2k (1) 判断上面的式子是否为 X 的概率分布; (2) 若是,试求 P( X为偶数)和 P(X ≥ 5) . 解:令 P(X = k) = pk = 1 ,k = 1,2,⋯ 2k (1)显然 0 ≤ pk ≤ 1,且 ∑ ∑ ∞ ∞1 1 = k =1 2k pk =2 1 =1 1 − 2 k =1 所以 P(X = k) = 1 , k = 1,2,⋯ 为一概率分布。 2k ∑ ∑ ∞ ∞1 1 1 = k =1 22k = (2) P( X 为偶数 ) = p2k =4 1 1− 4 3 k =1 ∑ ∑ ∞ ∞1 = 1 =1 = k=5 2k 25 P(X ≥ 5) = pk 1− 1 16 k =5 2 2.设随机变量 X 的概率分布为 P(X = k) = Cλk e−λ (k = 1,2,⋯ ), 且λ > 0 ,求 k! 常数 C . ∑ ∑ 解:∵ ∞ c λk e −λ = 1,而 ∞ λk e−λ = 1 k =1 k! k =0 k! ⎡ λ0 e −λ ⎤ = 1,即 c = (1 − e−λ ) −1 ∴ c ⎢1 − 0! ⎥ ⎦ ⎣ 3. 设一次试验成功的概率为 p(0 < p < 1) ,不断进行重复试验,直到首次成功为 止。用随机变量 X 表示试验的次数,求 X 的概率分布。 解: P(X = k) = p(1− p)k−1, k = 1,2,⋯ 4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p=0.1,当生产过程中出现废品时 立即进行调整,X 代表在两次调整之间生产的合格品数,试求 (1) X 的概率分布; (2) P(X ≥ 5) 。 解: (1) P(X = k) = (1− p)k p = (0.9)k × 0.1, k = 0,1,2,⋯ ∞ ∞ (2) P(X ≥ 5) = ∑ P(X = k) = ∑ (0.9)k × 0.1 = (0.9)5 k=5 k =5 5. 一张考卷上有 5 道选择题,每道题列出 4 个可能答案,其中有 1 个答案是正确 的。求某学生靠猜测能答对至少 4 道题的概率是多少? 课后答案网(http://****.khdaw****)13 解:因为学生靠猜测答对每道题的概率为 p = 1 ,所以这是一个 n = 5, p = 1 的 4 4 ****重复试验。 P(X ≥ 4) = C54 ( 1) 4 × 3 + C55 ( 1) 5 ( 3 ) 0 = 1 4 4 4 4 **** 6. 为了保证设备正常工作,需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发 生故障的概率为 0.01,各台设备工作情况相互****。 (1)若由 1 人负责维修 20 台设备,求设备发生故障后不能及时维修的概率; (2)设有设备 100 台,1 台发生故障由 1 人处理,问至少需配备多少维修人员, 才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过 0.01? 解: (1)1− (0.99)20 − 20× 0.01× (0.99)19 ≈ 0.0175(按 Poisson (泊松)分布近似) (2) n = 100, np = 100× 0.01 = 1 = λ (按 Poisson(泊松)分布近似) 100 100 1k × e −1 k! Ck k (0.99)100− k k =N +1 100 ∑ ∑ P(XN ≥ +1) = (0.01) ≈ ≤ 0.01 k =N +1 查表得 N = 4 7. 设随机变量 X 服从参数为 λ 的 Poisson(泊松)分布,且 P(X = 0) = 1 ,求 2 (1) λ ; (2) P(X > 1) . 解:∵ P( X = 0) = λ0 e −λ = 1 , ∴ λ = ln 2 0! 2 P(X > 1) =1 − P( X ≤ 1) = 1−[ P( X = 0) + P(X =1)] =1− [ 1 + 1 ln2] = 1 (1− ln2) 22 2 8. 设书籍上每页的印刷错误的个数 X 服从 Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本 书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验 4 页,每页上都没 有印刷错误的概率。 解:∵ P(X = 1) = P(X = 2) ,即 λ1 e−λ = λ2 e−λ , λ = 2 1! 2! ∴ P(X = 0)= e−2 ∴ P = (e−2 )4 = e−8 9. 在长度为的时间间隔内,某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的 Poisson 分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计),求 (1)某一天从中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率; (2)某一天从中午 12 时至下午 5 时收到 1 次紧急呼救的概率; 9. 在长度为 t 的时间间隔内,某急救中心收到紧急呼救的次数 X 服从参数为 t 的 2 Poisson(泊松)分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计). 求 (1)某一天从中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率; (2)某一天从中午 12 时至下午 5 时收到 1 次紧急呼救的概率; 课后答案网(http://****.khdaw****)14 解: −3 (1) t = 3 , λ = 3 P(X = 0) = e 2 2 5 5 − (2) t = 5 , λ = 2 P(X ≥ 1) =1− P(X = 0) = 1− e 2 10. 已知 X 的概率分布为: X -2 -1 0 1 2 3 P 2a 1 3a a a 2a 10 试求(1) a ; (2) Y = X 2 − 1的概率分布。 解: (1)∵ 2a + 1 + 3a + a + a + 2a = 1 10 ∴a = 1 。 10 (2) Y −1 0 3 8 3 1 3 P 10 5 10 1 5 11. 设连续型随机变量 X 的概率密度曲线如图 1.3.8 所示. f (x) 0.5 to 1 2 3 x 图 1.3.8 试求:(1) t 的值; (2) X 的概率密度; (3) P(−2 < X ≤ 2) . 解: (1)∵ 1 (−t) × 0.5 + 1 × 0.5× 3 =1 2 2 ∴ t = −1 课后答案网(http://****.khdaw****)15 ⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧−012 16x 1 , x ∈[−1,0) + 2 (2) f (x) = 1 x + , x ∈[0,3) 2 , 其它 ⎪⎩ (3) P(− X 01 1 21 1 11 2< ≤ 2) = ∫( x+ )dx + ∫ (− x + )dx = 2 6 2 12 −1 2 0 12. 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ⎧sin x, 0 ≤ x ≤ a f (x) = ⎨ ⎩ 0, 其他 试确定常数 a 并求 P(X > π ) . 6 +∞ a 解:令 ∫ f (x)dx = 1,即 ∫ sin xdx =1 0 −∞ ∴ − cos x a = 1,即 cosa = 0, a = π 0 2 π π) 2 π 3 6 2 ∫ P(X > = sin xdx = − cos x | 2 = π π 6 6 13. 乘以什么常数将使 e − x2 +x 变成概率密度函数? 解:令 +∞ ∫ ce−x2 + xdx = 1 ∴c = 1 1 − −∞ e4 +∞ − ( x − 1 ) 2 1 ∫ 即 c e 2 e 4 dx = 1 −∞ 1 即 ce 4 π = 1 π 14. 随机变量 X ~ N (µ ,σ 2 ) ,其概率密度函数为 f (x) = 1 − x2−4x+4 ( − ∞ < x < +∞ ) 6π e6 +∞ C f (x)dx = ∫ ∫ 试求 µ,σ 2 ;若已知 C −∞ f (x)dx ,求 C . 解: ∵ f (x) = e 1 − x2−4x+4 1 − ( x − 2) 2 6= e 2( 3)2 6π 2π 3 ∴µ = 2 , σ2 =3 课后答案网(http://****.khdaw****)16 +∞ c 若 ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx,由正态分布的对称性 c −∞ 可知 c = µ = 2 . 15. 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x) = ⎧2x, 0 ≤ x ≤ 1 ⎨ ⎩ 0, 其他 以Y 表示对 X 的三次****重复试验中“ X ≤ 1 ”出现的次数,试求概率 P(Y = 2) . 2 1 解: P(X 12 1 ≤ ) = ∫ 2xdx = 2 4 0 P(Y = 2) = C32 (1)2(3) = 9 。 44 **** 16. 设随机变量 X 服从[1,5]上的均匀分布,试求 P(x1 < X < x2 ) . 如果 (1) x1 < 1 < x2 < 5; (2)1 < x1 < 5 < x2 . 解: X 的概率密度为 f (x) = ⎪⎧ 1 , 1≤ x ≤ 5 ⎨4 ⎪⎩ 0 , 其他 ∫ (1) P(x1< X < x2 ) = x2 1 dx = 1 ( x2 − 1) 14 4 ∫ (2) P(x1< X < x2 ) = 5 1 dx = 1 (5 − x1 ) x1 4 4 17. 设顾客排队等待服务的时间 X (以分计)服从 λ = 1 的指数分布。某顾客等 5 待服务,若超过 10 分钟,他就离开。他一个月要去等待服务 5 次,以Y 表示一个月内 他未等到服务而离开的次数,试求 Y 的概率分布和 P(Y ≥1). 解: P(X ≥ 10) = 1− P(X < 10) = 1 − [1 − e − 1×10 ] = e −2 5 ∴ P(Y = k) = C5k (e−2 )k (1− e−2 )5−k , k = 0,1,2,3,4,5 P(Y ≥ 1) = 1 − (1− e−2 )5 ≈ 0.5167 课后答案网(http://****.khdaw****)17 习题 1.4 解答 1. 已知随机变量 X 的概率分布为 P(X = 1) = 0.2 , P(X = 2) = 0.3, P(X = 3) = 0.5 ,试求 X 的分布函数; P(0.5 ≤ X ≤ 2) ;画出 F (x)的曲线。 解: ⎧0 , x <1 ,1≤ x< 2 F ( x) = ⎪⎪0.2 P(0.5 ≤ X ≤ 2) = 0.5 ⎪⎨0.5 ; ⎪⎩ 1 , 2≤ x <3 , x≥3 F(x) 曲线: F(x) 1 0.5 0.2 0 x 12 3 2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 ⎧0, x < −1 −1 ≤ x < 1 F ( x) = ⎪⎪0.4, 1≤ x<3 ⎪⎨0.8, x≥3 ⎪⎩1, 试求:(1) X 的概率分布; (2) P(X < 2 | X ≠ 1). 解: (1) X −1 1 3 P 0.4 0.4 0.2 (2) P(X < 2 | X ≠ 1) = P( X = −1) = 2 P(X ≠ 1) 3 3. 从家到学校的途中有 3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独 立的,且概率均是 0.4,设 X 为途中遇到红灯的次数,试求(1) X 的概率分布; (2) X 的分布函数。 课后答案网(http://****.khdaw****)18 解: (1) P(X = k) = C3k (2 )k (3 )3−k ,k = 0,1,2,3 55 列成表格 X 0 1 2 3 27 54 36 p 125 125 125 8 125 ⎧ 0 , x<0 ⎪ 27 , 0≤ x<1 ⎪ , 1≤ x < 2 (2) F ( x) = ⎪⎪ 125 ⎨ 81 ⎪⎪112157 , 2 ≤ x < 3 ⎪125 ⎪⎩ 1 , x ≥ 3 4. 试求习题 1.3 中第 11 题 X 的分布函数,并画出 F (x)的曲线。 解: ⎧0 x < −1 −1≤ x < 0 ⎪1 x2 11 ⎪⎪ 1 + x+ 0≤x<3 F(x) = ⎨ 4 x≥3 24 ⎪− x2 + 1 x + 1 ⎪ 12 2 4 ⎪⎩ 1 F (x) 1 0.25 0 x −1 1 2 3 5. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 x>0 x≤0 ⎧ A + Be −2x , F ( x) = ⎨ ⎩  0, 课后答案网(http://****.khdaw****)19 试求:(1) A, B 的值; (2) P(−1 < X < 1); (3)概率密度函数 f (x) . 解: (1)∵ F (+∞) = lim (A + Be−2x ) = 1 ∴ A = 1 x →+∞ 又∵ lim (A + Be−2x ) = F(0) = 0 ∴ B = − A = −1 x →0+ (2) P(−1 < X < 1) = F(1) − F(−1) = 1− e−2 ⎧2e−2x , x > 0 (3) f (x) = F'(x) = ⎩⎨0 , x≤0 6. 设 X 为连续型随机变量,其分布函数为 ⎧ a, x < 1; F ( x) = ⎪⎨bx ln x + cx + d , 1 ≤ x ≤ e; ⎪⎩ d, x > e. 试确定 F (x) 中的 a, b, c, d 的值。 解: ∵ F(−∞) = 0 ∴ a = 1 又∵ F(+∞) = 1 ∴d = 1 又∵ lim (bx ln x + cx + 1) = a = 0 ∴ c = −1 x →1− 又∵ lim(bxln x − x +1) = d =1 ∴be − e +1 = 1 即 b = 1 x →e − 7. 设随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) = a ,试确定 a 的值并求 π (1 + x 2 ) F(x) 和 P( X < 1). ∫ 解:∵+∞ (1 a x 2 ) dx = 1 + −∞π 即 a arctan x | + ∞ = 1 ∴a =1 π − ∞ xa 11 ∫ F(x) = −∞π(1+ t 2 ) dt = 2 + π arctan x , − ∞ < x < +∞ P(| X |< 1) = F(1) − F(−1) = (1 + 1 arctan1) −[ 1 + 1 arctan(−1)] = 0.5 2π 2π 8. 假设某地在任何长为 t (年)的时间间隔内发生地震的次数 N (t) 服从参数为 λ = 0.1的 Poisson(泊松)分布, X 表示连续两次地震之间相隔的时间(单位:年), 试求: (1)证明 X 服从指数分布并求出 X 的分布函数; (2)今后 3 年内再次发生地震的概率; (3)今后 3 年到 5 年内再次发生地震的概率。 课后答案网(http://****.khdaw****)20 解: (1) 当 t ≥ 0 时, P(X > t) = P(N (t) = 0) = e−0.1t ∴ F (t) = P( X ≤ t) = 1− P(X > t) = 1− e−0.1t 当 t < 0时, F(t) = 0 ⎧1 − e −0.1x x ≥ 0 ∴ F(x) = ⎩⎨0 x< 0 X 服从指数分布( λ = 0.1) (2) F (3) = 1 − e−0.1×3 ≈ 0.26 (3) F(5) − F(3) ≈ 0.13 9. 设 X ~ N (−1,16) ,试计算(1) P(X < 2.44) ; (2) P(X > −1.5) ;(3) P( X < 4) ; (4) P( X − 1 > 1) . 解: (1) P(X < 2.44) = Φ(2.44 − (−1)) = Φ(3.44) =̇ 0.8051 4 4 (2) P(X > −1.5) =1− P( X ≤ −1.5) =1− Φ(−1.5 +1) = 1− Φ(− 1) =̇ 0.5498 4 8 (3) P(| X |< 4) = Φ( 4 +1) − Φ(− 4 +1) = Φ(5) − Φ(− 3) 4 4 4 4 = Φ(5) + Φ(3) −1 =̇ 0.6678 44 (4) P(| X −1 |>1) = P[(X < 0) ∪ (X > 2)] = P(X < 0) + P(X > 2) = Φ(0 +1) +1− Φ( 2 +1) = Φ(1) +1− Φ(3) =̇ 0.8253 4 4 4 4 10. 某科统考成绩 X 近似服从正态分布 N (70,102 ) ,第 100 名的成绩为 60 分, 问第 20 名的成绩约为多少分? 解:∵ P(X ≥ x | X ≥ 60) = 20 100 而 P(X ≥ x | X ≥ 60) = P[(X ≥ x) ∩ (X ≥ 60)] = P( X ≥ x) P(X ≥ 60) P( X ≥ 60) 又 ∵ P(X ≥ 60) = 1− Φ⎜⎛ 60− 70⎞ = Φ(1) =̇ 0.8413 ⎟ ⎝ 10 ⎠ ∴ P(X ≥ x) = 0.2× 0.8413= 0.16826 即 P(X ≥ x) = 1− Φ⎜⎛ x − 70⎟⎞ = Φ(1) = 0.16826 ⎝ 10 ⎠ ∴ Φ⎜⎛ x − 70 ⎞ = 0.83174, x − 70 ≈ 0.96 , x ≈ 79.6 ⎝ 10 ⎟ 10 ⎠ 课后答案网(http://****.khdaw****)21 11. 设随机变量 X 和Y 均服从正态分布, X ~ N (µ,42 ) ,Y ~ N (µ,52 ) ,而 p1 = P(X ≤ µ − 4) , p2 = P(Y ≥ µ + 5) ,试证明 p1 = p2 . 证明: ∵ p1 = P(X ≤ µ − 4) = Φ⎜⎛ µ − 4− µ ⎞ = Φ(−1) ⎝ 4 ⎟ ⎠ p2 = P(Y ≥ µ + 5) = 1− Φ⎜⎛ µ +5− µ ⎞ = 1− Φ(1) = Φ(−1) ⎝ 5 ⎟ ⎠ ∴ p1 = p2 . 12. 设随机变量 X 服从[a,b]上的均匀分布,令Y = cX + d (c ≠ 0) ,试求随机变 量 Y 的密度函数。 解: ⎪⎧ f ⎜⎛ y − d ⎟⎞ ⋅ 1 , a≤ y−d ≤b ⎨ ⎝ c ⎠ c c fY ( y) = X | | ⎪⎩ 0 , 其它 当 c > 0 时, fY ( y) = ⎪⎧ 1 a) , c a + d ≤ y ≤ cb + d ⎨c(b − ⎪⎩ 0 , 其他 当 c < 0 时, fY ( y) = ⎪⎧− 1 a) , c b + d ≤ y ≤ ca + d ⎨ c(b − ⎪⎩ 0 , 其他 课后答案网(http://****.khdaw****)22
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