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清华理论力学课后答案9

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理论力学  
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文档介绍
第九章平衡问题——能量方法 习题解答 9-1 质量为 3 kg 的质点以 5 m/s 的速度沿水平直线向左运动。今对其施以水平向右的的 常力,此力的作用经 30 s 而停止,这时质点的速度水平向右,大小为 55 m/s。求此力的大 小及其所做的功。 解:取质点 m 为研究对象。由质点动量定理; Ft = m(v2 − v1) : Ft = m(v2 + v1) , 质点的受力图 解得: F = m(v2 + v1) = 3(55 + 5) = 6(N) . t 30 由质点动能定理; 1 = 1 ×3× 2 2 ( ) ( ) W v22 v12 = Fs = m − 552 − 52 = 4500(J) . 9-2 如图所示,一弹簧振子沿倾角为ϑ 的斜面滑动,已知物块重 G,弹簧刚度系数为 k, 动摩擦因数为 f;求从弹簧原长压缩 s 的路程中所有力的功及从压缩 s 再回弹 λ 的过程中所 有力的功。 解:取物块为研究对象。物块受到重力 G,弹簧力 F,斜面 摩擦力 F****x 和法向反力 FN 作用,其中仅法向反力 FN 不作 功。在弹簧压缩过程中,所有力的功为 W = G(sinϑ − f cosϑ )s − 1 ks2 2 在弹簧压缩 s 再回弹 λ 的过程中,所有力的功为 [ ] W = G(− sinϑ − f cosϑ )λ + 1 k s2 − (s − λ )2 。 题 9-2 图 2 9-3 弹簧原长 l,刚度系数为 k,一端固定在 O 点,此 点在半径为 r= l 的圆周上。如弹簧的另一端由图示的 B 点 拉至 A 点,求弹簧力所做的功。AC⊥BC,OA 为直径。 ( ) 解:在 B 点弹簧的变形为 λ1 = 2 −1 l , 题 9-3 图 在 A 点弹簧的变形为 λ2 = l 。弹簧力所做的功为 ( ) ( ) W1kλ12 = 2 − λ22 =− 2 −1 kl 2 。 9-4 图示机构在力 F1 和 F2 作用下在图示位置平 衡,不计各构件自重和各处摩擦,OD=BD=l1,AD=l2。 求 F1/F2 的值。 解:用解析法解题。 F1 = F1(sinϑ i − cosϑ j) , F2 = F2i 点 A 和 B 的坐标及其变分为 rA = −(l1 − l2 )cosϑ i + (l1 + l2 )sinϑ j , rB = −2l1 cosϑ i δrA = (l1 − l2 )sinϑ ⋅δϑ i + (l1 + l2 )cosϑ ⋅δϑ j , 1 δrB = 2l1 sinϑ ⋅δϑ i 。 按虚功原理,有 ∑ Fi ⋅ δ ri = 0 , F1 ⋅ δ rA + F2 ⋅ δ rB = 0 , i 即 [ ] F1 sin2 ϑ(l1 − l2 ) − cos2 ϑ(l1 + l2 ) + 2F2l1 sinϑ = 0 , ( ) F1 F2 = l2 2l1 sinϑ 2 。 l1 1 − 2sin + ϑ 本题也可以用虚速度方法计算 A 点和 B 点的虚位移关系。 9-5 图示机构中曲柄 AB 和连 BC 为匀质杆,长度相同,重量 均为 P1。滑块 C 的重量为 P2,可沿倾角为ϑ 的导轨滑动。设约 束都是理想的,求机构在铅垂面内的平衡位置。 解:选ϑ 广义坐标,诸力作用点的 y 坐标及其变分为 yC1 = 1 l sin(ϑ + ϕ ), δyC1 = 1 l cos(ϑ + ϕ )⋅δϕ ; 题 9-5 图 2 2 yC2 = 2l cosϕ sinϑ + 1 l sin(ϕ −ϑ ), δyC2 = ⎢⎣⎡− 2l sin ϕ sin ϑ + 1 l cos(ϕ −ϑ )⎥⎦⎤δϕ ; 2 2 yC = 2l cosϕ sinϑ , δyC = −2l sinϕ sinϑ ⋅δϕ . 按虚功原理,有 ∑ Fi ⋅ δ ri = 0 , P1δyC1 + P1δyC2 + P2δyC = 0 , i 解得: tan ϕ = P1 P2 ) cotϑ 。 2(P1 + 9-6 两相同的匀质杆,长度为 l ,重为 G,其上作用有如图之力偶 M , 试求平衡时杆与水平线的夹角ϑ1,ϑ2 。 解:本题是 2 ****度系统,选ϑ1,ϑ2 为广义坐标,计算两杆的形心坐标 及其变分 1 1 yC1 = 2 l sinϑ1 , δyC1 = 2 l cosϑ1 ⋅ δϑ1 ; 1 1 yC2 = l sinϑ1 + 2 l sinϑ2 , δyC2 = l cosϑ1 ⋅δϑ1 + 2 l cosϑ2 ⋅δϑ2 。 按虚功原理,取虚位移 δϑ1 ≠ 0, δϑ2 = 0 , 虚功为 δW = GδyC1 − Mδϑ1 + GδyC2 题 9-6 图 关于ϑ1 的广义力 l **** = G 2 cosϑ1 + Gl cosϑ1 − M = 0 , 解得:ϑ1 = arccos 2M ; 3Gl 取虚位移 δϑ1 = 0, δϑ2 ≠ 0 , 虚功为 δW = GδyC1 + Mδϑ2 + GδyC2 关于ϑ2 的广义力 2 **** =G l −M =0 2 cosϑ2 解得:ϑ2 = arccos 2M 。 Gl 9-7 在图示机构中,当曲柄 OC 绕 O 轴摆动时,滑块 A 沿曲 柄滑动,从而带动杆 AB 在铅直导槽内****,不计各构件自重和 各处摩擦。求机构平衡时 F1 与 F2 的关系。 解:本题的****度为 1,虚功方程为 − F1δ rC + F2δ rA = 0 , (a) 计算虚位移。选ϕ 为广义坐标, δ re = l δ ϕ , δ rC = aδ ϕ , δ rA = δ ra = δ re . 题 9-7 图 cosϕ cosϕ 代入(a)式,导出 ⎛ l⎞ ⎜⎜⎝ − F1a + F2 cos2 ϕ ⎟⎟⎠δ ϕ = 0 解得: F1 = l ϕ F2 。 a cos2 9-8 在图示机构中,曲柄 OA 上作用 题 9-8 图 一力偶 M,滑块 D 上作用一力 F。机构尺 寸如图示,不计各构件自重和各处摩擦。 求机构平衡时力 F 与力偶 M 的关系。 解:图示机构的****度为 1。给机构任一虚位移,D 点的虚位移为 δ rD ,曲柄 AO 的虚角位移 为δϕ ,列出虚功方程 Mδϕ − Fδ rD = 0 , (a) AB 杆和 BD 杆的虚位移瞬心为 CAB ,**** ,存在如下关系 ( ) δ rA = aδϕ, δ rA cosϑ = δ rB cos 2ϑ ,δ rB cos 90� − 2ϑ = δ rD cosϑ . 代入式(a),解得 F = M cot 2ϑ . a 9-9 重为 G1 的杆 AB 铅垂放置,一端 A 搁在水平放置的斜面 D 上平衡。若 D 的重量为 G2,试求(1)不计所有摩擦,水平力 F 的大小;(2)水平面有摩擦,摩擦因数为 f,水平力 F 的范围。 (a)解:在系统的虚位移中,AB 杆上的 A 点作合成运动,如图示。 (1)不计所有摩擦时,列出虚功方程 (a) Fδ re − G1δ ra = 0 题 9-9 图 按速度合成定理,虚位移存在如下关系:δ ra = δ re tan β ,于是 导出 F = G1 tan β . (2)水平面有摩擦时,当水平力 F 较小,斜面 D 有向左运动趋势,此时摩擦力方向向右, 临界平衡时,虚功方程为 (F + ) F****x δ re − G1δ ra = 0 , 其中 F****x = (G1 + G2 ) f 。求得: F ≥ G1 tan β − (G1 + G2 ) f . 3 同理,当水平力 F 较大,斜面 D 有向右运动趋势,此时摩擦力方向向左,临界平衡时, 虚功方程为 (F − F****x )δ re − G1δ ra = 0 求得: F ≤ G1 tan β + (G1 + G2 ) f 。合在一起写作 G1 tan β − (G1 + G2 ) f ≤ F ≤ G1 tan β + (G1 + G2 ) f 。 (b) 解:本体与上题在于ϑ 是变量,只要将上题中的 β 表示成 h 的 函数即可。易见ϑ = 90� − β , tan β = cotϑ = R2 − h2 ,代入 (b) h 题 9-9 图 上式结果,分别得到(1) F = R2 − h2 G1 , h (2) R2 − h2 G1 − (G1 + G2 )f ≤F ≤ R2 − h2 G1 − (G1 + G2 )f 。 h h 9-10 不计梁的自重,求图示水平梁在支座 B 和 C 处的约束力。 (a)解:图示组合梁的****度为零。为用虚功原理求解, 须解除一个约束,使之成为****度为 1 的系统。 先解除滑动铰链 C,将约束力 FC 当作主动力。给系 统任一虚位移 δϑ ,列出虚功方程 FCδ rC − Mδϑ = 0 虚位移的关系为δ rC = lδϑ ,代入上式,导出 FC = M / l 其次解除滑动铰链 B,同理列出虚功方程 FBδ rB − Fδ rD + Mδϑ = 0 , 虚位移的关系为 2δ rB = δ rD = lδϑ ,代入上式,导出 FB = 2(F1 − M / l), 题 9-10 图(a) (b)解:先解除滑动铰链 B,给系统任一虚位 移δϑ ,列出虚功方程: − F1lδϑ + Mδϑ − F2 l δϑ + FBlδϑ = 0 , 2 解得: FB = ⎛ F1 + F2 − M ⎞ ⎜ 2 l ⎟ ⎝ ⎠ 再解除滑动铰链 C,给系统任一虚位移 δϑ ,列出 虚功方程: − F1lδϑ + M 2δϑ + F2 l 2δϑ − FC l 2δϑ = 0 2 解得: FC = 1 ⎛ − F1 + F2 + 2M ⎞ ⎜ l ⎟ 2⎝ ⎠ 4 题 9-10 图(b) 9-11 不计杆重,求图示结构固定端 A 处约束力的铅垂分量。 解:解除固定端 A 的铅垂方向的约束,并代之以 约束反力 FAy ,系统的****度为 1。给系统任一虚位 移:AC 杆为虚平移 δr ,B 点为水平虚位移 δrB 。找 得 BC 折杆的瞬心 CCB ,如图(a)所示。列出虚功 方程: ( ) FAy − F1 ⋅ δr + F2 ⋅ δrD = 0 , 题 9-11 图 题 9-11 图(a) 其中, δrD = hδr l 。 解得: FAy = F1 − F2h / l 。 9-12 水平力 F1 和 F2 分别作用于杆 BC 和杆 CD 的中点,如图示。不计`杆重,试计算固 定端 A 的约束力偶 MA。 解:解除固定端的转动约束而成为固定铰链,并代之以约束力偶,如图( a)所示。给机构 题 9-13 图 题 9-13 图(a) 任一虚位移:AB 杆绕 A 的虚转动 δϑ ,BC 杆的瞬时虚平移 δrB = hδϑ = δrC ,CD 杆绕 D 的虚转动 δϕ = δrC 2h 。列出虚功方程: Mδϑ − F1δrB − F2hδϕ = 0 ,解得: M A = (F1 + F2 / 2)h 。 9-13 三根相同的匀质杆用铰链连接后,一端用铰链固定,一端有水平力作用如图示。 设杆重 G,求平衡时的角ϑ 值。 解:本题为 3 ****度系统。总势能为 例 9-13 图 受力图 V = −Gl(5cosϑ + cosϑ1 + cosϑ2 ) 力 F 作用点的 x 坐标为 x = −2l(sinϑ + sinϑ1 + sinϑ2 ), 平衡方程为 5 ∂V = Qϑ ∂ϑ 其中, Qϑ = −F ∂x 。即 ∂ϑ 5Gl sinϑ = 2Fl cosϑ , 2F 解得: ϑ = arctan 。 5G 9-14 计算图示机构在图示平衡位置时主动力之间的关系。不计各构件自重和各处摩擦。 (a)解:图示机构的****度为 1,选ϑ 位广义坐标,给机构任一虚位移 δϑ ,列出平衡方程 − Mδϑ − FδxC = 0 其中 xC = 2l cosϑ ,δxC = −2l sinϑδϑ 。 解出: M = 3Fl (b)解:图示机构的****度为 1,选ϑ 位广义坐标,给机构任一虚位移 δϑ (顺时针),计 算虚位移。 取 D 为动点,杆 AB 为动系,虚位移合成图如 图示, δre = lδϑ , δra = δre = 2l δϑ cos 60� DC 杆的虚角位移为 δϕ = δra ,(顺时针)。 l 列出平衡方程 F ⋅ 2lδϑ − Mδϕ = 0 解得: M = Fl 。 (a1) (a2) (b1) (b2) 题 9-14 图 9-15 图示机构中 AC=CD=DE,今在三杆上分别作用一力偶,并在图示位置平衡。已知 M1,求 M2 和 M3。不计各构件自重和各处摩擦。 6 题 9-15 图 虚位移图 解:图示机构的****度为 2,选 x,ϑ 为广义坐标。 1) 给系统一虚位移:δx = 0,δϑ ≠ 0 , 此时,DE 杆作虚平移,虚功方程为 − M1 ⋅ δϑ + M3 ⋅ δϑ = 0 , 解得:M3= M1 。 2) 给系统一虚位移: δx ≠ 0,δϑ = 0 。取 E 为动点,AB 杆为动系,AB 杆的虚角位移为 δϕ , (逆时针)。于是, δre = lδϕ , δra = δre = 2lδϕ ,DE 杆虚角位移为 δψ = δra = 2δϕ 。 sin 60� l 虚功方程为 − M1 ⋅δϑ + M 2 ⋅δψ = 0 解得, M2= M1/2。 9-16 图示滑套 D 套在直杆 AB 上,并带动 CD 杆在铅直滑道上滑动。已知ϑ = 0 时弹簧 为原长,弹簧刚度系数为 5 kN/m,不计各构件自重和各处摩擦。求在任意位置平衡时应加 多大的力偶矩 M? 解:****度为 1,选ϑ 为广义坐标,弹簧力为 F = kl⎜⎛ 1 − 1⎟⎞ ; lAD = l 。 ⎝ cosϑ ⎠ cosϑ 虚功方程为 Mδϑ − FδlAD = 0 其中 δlAD l sinϑ = cos2 ϑ δϑ 。解得 题 9-16 图 M = 450 sin ϑ(1 − cosϑ ) ( N ⋅ m) 。 cos3 ϑ 9-17 长度相等的两杆 AB 和 BC 在 B 点用铰链连接, 在 D、C 两点用弹簧连接,形成图示机构。弹簧刚度系数为 k,当 AC=a 时,弹簧为原长,不计各构件自重和各处摩擦。 今在点 C 处作用一力 F,机构处于平衡,求距离 AC 之值。 解:机构的****度为 1。选 x 为广义坐标,弹簧变形为 ∆l = b (x − a), l 弹性势能为 V = k ⎛b (x − 2 , ⎜ 2⎝ l a)⎟⎞ 题 9-17 图 ⎠ 平衡方程为 ∂V = Qx ,其中 Qx = F ,即 ∂x 7 ⎛ b ⎞ 2 ⎜ ⎟ k ⎝l⎠ (x − a ) = F 解得 AC = x = a + F ⎛ l 2 。 ⎜ ⎞ ⎟ k ⎝b⎠ 9-18 一质量为 m 的小球 A 可沿铅垂放置的半径为 r 的光滑固定圆 环运动,同时,小球用刚度系数为 k、原长为 l0<2r 的弹簧连接,弹 簧的另一端固定在圆环上的 B 点,如图所示。设 kr>mg,试求小球 的平衡位置,并讨论其稳定性。 解:小球 A 的势能为 V = −mg2r cos2 ϑ + k (2r cosϑ − l0 )2 2 小球的平衡位置由下述方程决定 ∂V = 0 , mg4r cosϑ sinϑ − k(2r cosϑ − l0 )2r sinϑ = 0 题 9-18 图 ∂ϑ [2(kr − mg )cosϑ − kl0 ]sinϑ = 0 。 所以,当 σ = kl0 ≥ 1 时,唯****衡位置ϑ1 = 0 2(kr − mg) 当σ = kl0 ) < 1 时,除 ϑ1 = 0 外,还有另****衡位置 ϑ2 = arccosσ 。 2(kr − mg 稳定性讨论: ( ) ∂2V ∂ϑ 2 == 4r(kr − mg )1 − 2cos2 ϑ + 2rkl0 cosϑ ∵ ∂2V = 2r[kl0 − 2(kr − mg)], ∂ϑ 2 ϑ =0 ∴当σ = kl0 mg ) ≥ 1 时,唯****衡位置 ϑ1 = 0 稳定 ; 2(kr − 当σ = kl0 mg ) < 1 时,平衡位置 ϑ1 = 0 不稳定 ; 2(kr − ∵ ∂ 2V = 4r(kr − mg )2 ⎡ − ⎜⎜⎛ kl0 mg ) 2 ⎤ , ∂ϑ 2 ⎢1 ⎝ ⎥ ϑ2 =arccosσ kr − mg 2(kr − ⎞ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎟⎟ ⎠ ∴当σ = kl0 < 1 时,平衡位置ϑ2 = arccosσ 稳定。 2(kr − mg) 9-19 质量为 m 的单摆 D 由不计质量的杆 OD 连接,可绕 O 转 动,杆上一点 A 与点 B 以一刚度系数为 k、原长为 l0 的弹簧连接。 设 OA=l,OD=L,OB=2l。试求单摆的平衡位置,并讨论其稳定 性。 解:选ϕ 为广义坐标,系统的势能为 ( ) V = −mgLcosϕ + 1 k l 2 2 5 − 4cosϕ − l0 , dV 令 dϕ = 0 ,导出平衡位置为ϕ1 = 0 ,ϕ2 = π 题 9-19 图 8 讨论其稳定性。 当ϕ = 0 时, d 2V = mgL − 2kl(l0 − l) dϕ 2 ϕ =0 所以, mgL > 2kl(l0 − l) 时稳定; 当ϕ = π 时, d 2V = −mgL + 2kl⎜⎛ l0 − l ⎞ dϕ 2 ⎝3 ⎟ ⎠ ϕ =π 所以, mgL < 2kl(l0 / 3 − l) 时稳定. 9
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